Números

Para comprobar si un número es feliz o infeliz, se calcula la suma de los cuadrados de sus cifras. Con el resultado obtenido se vuelve a calcular la suma de los cuadrados de las cifras. Y se repite el procedimiento las veces que sea necesario. Si en alguno de los pasos se obtiene 1, el número es feliz. Si no se obtiene 1, el número es infeliz.

Existen infinitos números felices. Aquí se muestran tres ejemplos:

Todos los números naturales son interesantes.

Demostración.

Supongamos que existen números naturales que no son interesantes. Se considera el subconjunto con todos los números naturales que no son interesantes.

Escogemos el menor número de este conjunto. Este número es el primer número natural que no es interesante, por tanto, ya tiene cierto interés y, en realidad se trata de un número interesante. Debe de estar en el subconjunto de los números interesantes.

En el subconjunto de los números que no son interesantes, debe haber ahora otro número que sea el menor de todos. Se repite el razonamiento y se convierte en otro número interesante. 

Y se vuelve a repetir el mismo razonamiento las veces que sea necesario.

Conclusión: Todos los números naturales son interesantes.

Un número hexagonal es un número que se obtiene al sumar los puntos necesarios para construir la sucesión de hexágonos de la figura.

Los primeros números hexagonales son:  1 , 6 , 15 , 28 , 45 , 66 , 91 , 120 , 153 , 190 , …

Utilizando la suma de los elementos de una progresión aritmética, se obtiene la fórmula para calcular los números hexagonales.

Un número pentagonal es un número que se obtiene al sumar los puntos necesarios para construir la sucesión de pentágonos de la figura.

Los primeros números pentagonales son:  1 , 5 , 12 , 22 , 35 , 51, 70 , 92 , 117 , 145 , …

Utilizando la suma de los elementos de una progresión aritmética, se obtiene la fórmula para calcular los números pentagonales.

Euler descubrió el polinomio  n² + n + 41  con el que se obtienen 40 números primos, aunque no consecutivos, desde n=0 hasta n=39.

Para n=40 no se obtiene un número primo.

Un número triangular es un número que se obtiene al sumar n números naturales consecutivos. Se puede disponer formando un triángulo equilátero, según se ve en la figura.

Los primeros números triangulares son:  1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21, 28 , 36 , 45 , 55 , …

Utilizando la suma de los elementos de una progresión aritmética, se obtiene la fórmula para calcular los números triangulares.

Los números 37 y 73 son primos.

El 37 ocupa el lugar número 12 en la lista de números primos.

Si se invierte 37 se obtiene 73. Si se invierte 12 se obtiene 21.

El 73 ocupa el lugar número 21 en la lista de números primos.

Dos números a y b son amigos si la suma de los divisores propios de a es b y la suma de los divisores propios de b es a.

Divisores propios de un son todos los divisores positivos menos el mismo número.

Ejemplo: 220 y 284.

Div(220) = { 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 11 , 20 , 22, 44 , 55 , 110 , 220 }

Div (284) = { 1 , 2 , 4 , 71 , 142 , 284 }

220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142   y   284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110

Otras parejas de números amigos son:

1184 y 1210   ,   2620 y 2924   ,   5020 y 5564   ,   6232 y 6368   ,   10744 y 10856