Triángulo equilátero y triángulo escaleno
Calcula el cociente entre la superficie del triángulo equilátero ABC y la superficie del triángulo escaleno DEF.
Adicción Matemática Blog
Suma y producto
¿Pueden coincidir la suma y el producto de varios números?
• Encuentra dos números positivos cuya suma coincide con su producto.
• Encuentra tres números positivos cuya suma coincide con su producto.
• Encuentra cuatro números positivos cuya suma coincide con su producto.
• Encuentra cinco números positivos cuya suma coincide con su producto.
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Ladrillos de Euler
Se conoce como ladrillo de Euler a un ortoedro en el que las longitudes de las aristas y de las diagonales de las caras son números naturales. Si además, el máximo común divisor de las aristas es 1, el ortoedro se llama ladrillo de Euler primitivo.
El ladrillo de Euler más pequeño lo descubrió, en el año 1719, el matemático e informático alemán Paul Halcke (1662-1731). Es el siguiente:
Otros ladrillos de Euler tienen por longitudes de aristas y diagonales:
Aristas: 85, 135, 720. Diagonales: 157, 725, 732.
Aristas: 140, 480, 693. Diagonales: 500, 707, 843.
Aristas: 160, 231, 792. Diagonales: 281, 808, 825.
Aristas: 240, 252, 275. Diagonales: 348, 365, 373.
En estos ortoedros, la diagonal mayor no es un número natural. No se ha encontrado todavía el ortoedro con las longitudes de las aristas, las diagonales de las caras y la diagonal mayor, números naturales. A este ortoedro se le llamaría ortoedro perfecto o ladrillo perfecto de Euler.
Ventana imposible
Observa la mitad superior tapando la mitad inferior. Después hazlo al contrario. Por separado parecen ventanas completamente normales. Sin embargo, la figura completa es una construcción imposible.
Triángulos equiláteros
• Calcula el cociente entre la longitud del lado del triángulo equilátero ABC y la longitud del lado del triángulo equilátero DEF.
• Calcula el cociente entre la superficie del triángulo equilátero ABC y la superficie del triángulo equilátero DEF.
Cuaterna pitagórica
La diagonal, D, de un ortoedro, cuyas aristas miden a, b y c unidades, verifica que:
D2 = a2 + b2 + c2
Existen solamente cuatro ortoedros con a, b, c y D números naturales comprendidos entre 1 y 9, ambos incluidos. Averigua sus medidas.
Los números naturales a, b, c y D forman una cuaterna pitagórica.
Grafo euleriano (continuación)
Un grafo es conexo si cada par de vértices están unidos por un camino.
Un grafo conexo es euleriano si y solo si cada vértice tiene grado par.
Si un grafo contiene un camino euleriano, entonces todos los vértices tienen grado par o solamente dos vértices tienen grado par. En este caso, para construir el camino euleriano hay que empezar por uno de los vértices de grado impar y acabar en el otro.
En el siguiente grafo, el vértice A tiene grado 1 y el vértice B tiene grado 3. No puede ser un grafo euleriano, pero sí se puede construir un camino euleriano empezando por el vértice A y acabando por el vértice B o al contrario.
En el siguiente grafo todos los vértices tienen grado par, es un grafo euleriano. Se puede construir un circuito euleriano, empezando y acabando en un mismo vértice.
En el problema de los puentes de Königsberg, realizar el recorrido propuesto, equivale a construir la siguiente figura sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por la misma línea, es decir, construir un circuito euleriano. Pero no se puede construir este camino porque los cuatro vértices del grafo tienen grado impar, por tanto, no es posible recorrer la ciudad a pie, pasando una sola vez por cada uno de los puentes y volviendo al punto inicial.
Utiliza estos resultados para resolver la siguiente actividad propuesta en este blog con anterioridad:
Lúnula
Con los datos de la figura, calcula, de la forma más exacta posible, la superficie de la lúnula de color morado.
Divisores de 100
Utilizando todos los divisores del número 100 y sin repetir ninguno, construye un cuadrado mágico multiplicativo de orden 3. Se debe verificar que el producto de las tres filas, las tres columnas y las dos diagonales debe ser igual a un mismo número, k, llamado constante mágica. ¿Cuál es el valor de la constante mágica?
a · b · c = d · e · f = g · h · i = k
a · d · g = b · e · h = c · f · i = k
a · e · i = c · e · g = k
Grafo euleriano
Un camino en un grafo es un conjunto de aristas consecutivas que unen dos vértices. Un camino es cerrado si los dos vértices extremos coinciden. Un circuito es un camino cerrado que no contiene aristas repetidas.
En el grafo anterior, un camino que une los puntos A y E es el formado por las aristas AF, FC, CE.
Un circuito que sale que parte de G y llega a G es el formado por las aristas GD, DF, FC, CE, EB, BG.
Un camino euleriano es un camino que contiene todas las aristas sin repetir ninguna. En el grafo anterior, el camino AF, FB, BE, EC, CF, FD, DG, GB es un camino euleriano.
Un grafo euleriano es un grafo que contiene un circuito euleriano. El grafo anterior no contiene ningún circuito euleriano. El grafo siguiente contiene el circuito euleriano: AB, BC, CD, DE, EA, AC, CE, EB, BD, DA. Es por tanto, un grafo euleriano.
