Se cuenta que un día en el colegio, con una edad de 9 ó 10 años, el maestro planteó a los alumnos que calcularan la suma de los cien primeros números naturales. Gauss lo resolvió muy rápidamente con el procedimiento utilizado después para la suma de los términos de una progresión aritmética.
Más cuadrados enlazados.
El arquitecto Rafael de la Hoz (1924-2000) observó, en el estudio de las proporciones de la Mezquita de Córdoba, que aparecía con frecuencia la razón entre el radio de la circunferencia circunscrita a un octógono regular y el lado del octógono. A esta razón la llamó proporción cordobesa. También se conoce como número cordobés. El rectángulo que guarda las proporciones del número cordobés se conoce como rectángulo cordobés.
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En un partido de tenis los puntos que van consiguiendo los jugadores se contabilizan como 15, 30, 40 y, al obtener el cuarto punto, se consigue un juego. Cada seis juegos se anota un set. Para obtener un juego hay que tener dos puntos de ventaja sobre el rival. Para conseguir un set hay que tener dos juegos de ventajas sobre el rival.
La teoría más admitida para esta forma de contabilizar los puntos sería la siguiente. Un set equivale a una circunferencia completa, 360º. Como el set tiene seis juegos, cada juego sería la sexta parte, es decir, 60º. Para conseguir los 60º se necesitan cuatro puntos, cada uno de los puntos representaría 15º, 30º, 45º y 60º (juego).
Sin embargo, el tercer punto se contabiliza como 40 y no como 45. La razón parece ser que es más fácil y rápido pronunciar 40 que 45.
El triángulo ABC es isósceles con AB=AC. La bisectriz del ángulo B corta en el punto D al lado AC. Calcula el ángulo A sabiendo que BC=BD.
Calcula todos los números de tres cifras distintas que verifican que el cociente entre las cifras de las centenas y las cifras de las decenas es igual al cociente entre las cifras de las decenas y las cifras de las unidades.
Cuidado si te encuentras con el infinito.
Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma ax2+bx+c=0 con a≠0. Las dos soluciones x1 y x2 de la ecuación verifican que:
x1 + x2 = –b/a y x1 · x2 = c/a
Si a=1, la ecuación queda de la forma x2+bx+c=0 y las dos soluciones x1 y x2 de la ecuación verifican que:
x1 + x2 = –b y x1 · x2 = c
Estas relaciones permiten resolver una ecuación con soluciones enteras, mentalmente.
Ejemplo. Calcula mentalmente las soluciones de la ecuación x2–11x+28=0.
Las soluciones x1 y x2 de la ecuación verifican:
x1 + x2 = –b → x1 + x2 = –(–11) = 11 y x1 · x2 = c → x1 · x2 = 28
Las soluciones son 4 y 7.
Actividades. Calcula mentalmente las soluciones de las ecuaciones:
a) 2x2–16x+30=0 b) x2–2x–8=0 c) x2+x–12=0 d) x2+10x+25=0
Curvas de sexto grado construidas por el ingeniero escocés James Watt (1736-1819).
Se puede construir también de la siguiente forma:
• Se dibujan dos circunferencias de radio b, cuyos centros están a una distancia igual a 2a.
• Con centro un punto P de una de las circunferencias, se dibuja otra circunferencia de radio 2c.
• Esta circunferencia corta a la segunda en dos puntos Q y Q’.
• Al desplazar el punto P por la primera circunferencia, los puntos medios de los segmentos PQ y PQ’ determinan la curva de Watt.
• Repitiendo la construcción con distintos valores de a, b y c se obtienen todas las posibles curvas.
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