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Juegos

¿Qué día naciste?

    Realiza las siguientes operaciones:

1. Escribe el día (del 1 al 31) del mes de tu nacimiento.

2. Multiplícalo por 10.

3. Súmale 5.

4. Multiplícalo por 2.

5. Réstale 4.

6. Multiplícalo por 5.

7. Suma el número del mes de tu nacimiento (del 1 al 12).

8. Réstale 30.

¿Qué número se obtiene? ¿Qué relación tiene con tu fecha de nacimiento?

Realiza ahora las operaciones anteriores representando el día del mes por «x» y el número del mes por «y». Observa el resultado que se obtiene y explica el misterio de este juego.

Una vez que hayas entendido el juego, inventa otro similar en el que se pueda adivinar la fecha completa de nacimiento (día, mes y año). 

Números

Identidad de Cassini

La identidad de Cassini es una propiedad que verifican los términos de la sucesión de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, …

Para comprenderla mejor escribimos los términos que ocupan lugares impares en color rojo y los términos que ocupan lugares pares en color azul.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, …

• El producto de dos términos que ocupan lugares impares consecutivos es igual al cuadrado del término intermedio más 1.

1 · 2 = 12 + 1 2 · 5 = 32 + 1 5 · 13 = 82 + 1
13 · 34 = 212 + 1 34 · 89 = 552 + 1 89 · 233 = 1442 + 1
233 · 610 = 3772 + 1 610 · 1597 = 9872 + 1 1597 · 4181 = 25842+1
  . . .  

• El producto de dos términos que ocupan lugares pares consecutivos es igual al cuadrado del término intermedio menos 1.

1 · 3 = 22 – 1 3 · 8 = 52 – 1 8 · 21 = 132 – 1
21 · 55 = 342 – 1 55 · 144 = 892 – 1 144 · 377 = 2332 – 1
377 · 987 = 6102 – 1 987 · 2584 = 15972 – 1 2584 · 6765 = 41812 – 1
  . . .  

Ambas propiedades se pueden agrupar en una sola expresión:

an-1 · an+1 = an2 + (-1)n

Números

¡ Feliz 2022 (MMXXII) !

¡ FELIZ 2022 (MMXXII) !

¡ Un número abundante, semiperfecto, malvado e infeliz !

• El número 2022 tiene tres cifras repetidas. ¿Cuál fue el año anterior a 2022 con tres cifras repetidas? ¿Cuántos años tenías? ¿Cuál será el siguiente año con tres cifras repetidas? ¿Cuántos años tendrás?

• En números romanos se escribe con tres parejas de símbolos iguales consecutivas. ¿Cuál fue el año anterior a 2022 con esta característica? ¿Cuál será el siguiente año?

• El número 2022 se escribe uniendo dos números pares consecutivos (20-22). ¿Cuál fue el año anterior con esta misma propiedad? ¿Cuál será el año siguiente? ¿Cada cuántos años sucede esto? ¿Por qué?

• Escribimos la fecha de un día cualquiera del año con el formato “ddmmaa”, es decir, dos cifras para el día del mes, dos cifras para el mes y dos cifras para el año. ¿Qué días del año verifican que “dd + mm = aa”? ¿Qué días del año verifican “dd · mm = aa”?

• Escribimos ahora la fecha de un día cualquiera del año con el formato “ddmmaaaa”, es decir, dos cifras para el día del mes, dos cifras para el mes y cuatro cifras para el año; este año tendrá una fecha capicúa (se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda). ¿Qué día será? ¿Cuál fue la anterior fecha capicúa? ¿Cuál será la siguiente?

• El año 2022 comienza y termina en sábado, por lo que tendrá 53 sábados y 52 de cada uno de los demás días de la semana. ¿Cuál será el próximo año que empiece y termine en sábado?

• No es un número primo, es un número compuesto: “2022 = 2 · 3 · 337”. Como es producto de tres números primos se dice que es un número esfénico.

• Tiene 8 divisores: 1, 2, 3, 6, 337, 674, 1011 y 2022. Es un número abundante: la suma de sus divisores, excepto el mismo número, es mayor que el número:

1 + 2 + 3 + 6 + 337 + 674 + 1011 = 2034 > 2022

• Es un número semiperfecto porque es igual a la suma de parte de sus divisores:

337 + 674 + 1011 = 2022

• Su expresión en base 2 (sistema binario) es 11111100110. Es un número malvado porque contiene un número par de 1.

• Es un número infeliz, no se obtiene 1 al final de la secuencia de operaciones:

Pero, independientemente de lo que digan las Matemáticas de este número,

¡ Feliz 2022 !

Números

El número 365

El 31 de diciembre es el día número 365 de un año no bisiesto. 

El número 365 se puede expresar como la suma de los cuadrados de tres números naturales consecutivos:

365 = 102 + 112 + 122

El número 365 también se puede expresar como la suma de los cuadrados de los dos números naturales consecutivos a los anteriores:

365 = 132 + 142

Fractales

Baderna de Apolonio

El matemático y astrónomo griego Apolonio de Perga (262 a.C.-190 a.C.) resolvió el problema de dibujar las circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas.

Haz «click» sobre la imagen para abrir la construcción con Geogebra y seguirla paso a paso.

Problemas geométricos

Dos monedas de distinto tamaño

Supongamos ahora dos monedas de forma que una tiene doble diámetro que la otra.

• Haz rodar, sin resbalar, la moneda de la izquierda alrededor de la moneda de la derecha. ¿Cuántas vueltas tiene que dar para que vuelva a quedar el 1 en posición vertical?

• Haz rodar, sin resbalar, la moneda de la derecha alrededor de la moneda de la izquierda. ¿Cuántas vueltas tiene que dar para que vuelva a quedar el 2 en posición vertical?

Para responder a las dos cuestiones anteriores, puedes recortar dos círculos de forma que el radio de uno sea del doble del radio del otro. Dibuja en cada uno de ellos un número o una flecha y haz rodar, sin resbalar, cada uno alrededor del otro.

Problemas de ingenio

a, b y c

Sean a, b y c tres números naturales distintos.

• ¿Cómo deben ser a y b para que 2a=3b? Calcula los números a y b más pequeños que verifican esta propiedad.

• ¿Cómo deben ser a, b y c para que 5a=4b=3c? Calcula los números a, b y c más pequeños que verifican esta propiedad.

• ¿Cómo deben ser a y b para que a2=b3? Calcula los números a y b más pequeños que verifican esta propiedad.

• ¿Cómo deben ser a, b y c para que a2=b4=c6? Calcula los números a, b y c más pequeños que verifican esta propiedad.

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