Números

¡ FELIZ 2022 (MMXXII) !

¡ Un número abundante, semiperfecto, malvado e infeliz !

• El número 2022 tiene tres cifras repetidas. ¿Cuál fue el año anterior a 2022 con tres cifras repetidas? ¿Cuántos años tenías? ¿Cuál será el siguiente año con tres cifras repetidas? ¿Cuántos años tendrás?

• En números romanos se escribe con tres parejas de símbolos iguales consecutivas. ¿Cuál fue el año anterior a 2022 con esta característica? ¿Cuál será el siguiente año?

• El número 2022 se escribe uniendo dos números pares consecutivos (20-22). ¿Cuál fue el año anterior con esta misma propiedad? ¿Cuál será el año siguiente? ¿Cada cuántos años sucede esto? ¿Por qué?

• Escribimos la fecha de un día cualquiera del año con el formato “ddmmaa”, es decir, dos cifras para el día del mes, dos cifras para el mes y dos cifras para el año. ¿Qué días del año verifican que “dd + mm = aa”? ¿Qué días del año verifican “dd · mm = aa”?

• Escribimos ahora la fecha de un día cualquiera del año con el formato “ddmmaaaa”, es decir, dos cifras para el día del mes, dos cifras para el mes y cuatro cifras para el año; este año tendrá una fecha capicúa (se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda). ¿Qué día será? ¿Cuál fue la anterior fecha capicúa? ¿Cuál será la siguiente?

• El año 2022 comienza y termina en sábado, por lo que tendrá 53 sábados y 52 de cada uno de los demás días de la semana. ¿Cuál será el próximo año que empiece y termine en sábado?

• No es un número primo, es un número compuesto: “2022 = 2 · 3 · 337”. Como es producto de tres números primos se dice que es un número esfénico.

• Tiene 8 divisores: 1, 2, 3, 6, 337, 674, 1011 y 2022. Es un número abundante: la suma de sus divisores, excepto el mismo número, es mayor que el número:

1 + 2 + 3 + 6 + 337 + 674 + 1011 = 2034 > 2022

• Es un número semiperfecto porque es igual a la suma de parte de sus divisores:

337 + 674 + 1011 = 2022

• Su expresión en base 2 (sistema binario) es 11111100110. Es un número malvado porque contiene un número par de 1.

• Es un número infeliz, no se obtiene 1 al final de la secuencia de operaciones:

Pero, independientemente de lo que digan las Matemáticas de este número,

¡ Feliz 2022 !

El 31 de diciembre es el día número 365 de un año no bisiesto. 

El número 365 se puede expresar como la suma de los cuadrados de tres números naturales consecutivos:

365 = 10² + 11² + 12²

El número 365 también se puede expresar como la suma de los cuadrados de los dos números naturales consecutivos a los anteriores:

365 = 13² + 14²

El número de bronce es un número algebraico. Esto significa que:

• Se puede representar gráficamente con regla y compás. Para representar el número de bronce con regla y compás se sigue una construcción similar a la realizada para construir el rectángulo de bronce:

       Se traza un segmento de longitud 1, perpendicular a la recta real por el 3.

       Con centro en 3/2 se traza un arco de circunferencia que pasa por el extremo del segmento anterior.

       Este arco corta a la recta real en el número de bronce.

• Se obtiene como solución de una ecuación polinómica con coeficientes racionales. El número de bronce es la mayor de las soluciones de la ecuación:

De forma similar a como se planteó la «demostración geométrica» de que π=2, se puede plantear esta otra en la que se intenta «demostrar», también geométricamente, que √2=2. ¿Verdadero o falso?

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Otro criterio de divisibilidad curioso es el del número 19.

Para ver si un número es divisible por 19 se le suma al número, sin la cifra de las unidades, la cifra de las unidades multiplicada por 2. Si el resultado de esta suma es múltiplo de 19, entonces el número es divisible por 19. En caso contario, no lo es.

Ejemplos:

• 437. Se hace la suma 43 + 2·7 = 43 + 14 = 57. Como se obtiene un múltiplo de 19, el número 437 es divisible por 19.

• 624. Se hace la suma 62 + 2·4 = 62 + 8 = 70. Como no se obtiene un múltiplo de 19, el número 624 no es divisible por 19.

De forma similar a como se construye el rectángulo de plata, pero partiendo de un rectángulo cuya base es el triple de su altura, en lugar del doble, se obtiene otro rectángulo que se conoce como rectángulo de bronce. La razón entre la base y la altura de este rectángulo se conoce como número de bronce.  

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Cálculo del número de bronce.

Si se representa por x la altura del rectángulo, la longitud de la base será 3x. La longitud del segmento MB es 3x/2 y la longitud del lado MC será, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo MBC:

Por el procedimiento de construcción utilizado, esta longitud coincide con la longitud del segmento ME.

El lado mayor del rectángulo mide:

La razón entre el lado mayor AE y el lado menor AD es el número de bronce, δ_Br:

Otro criterios de divisibilidad curioso es el del número 17.

Para ver si un número es divisible por 17 se le resta al número, sin la cifra de las unidades, la cifra de las unidades multiplicada por 5. Si el resultado de esta diferencia es 0 o múltiplo de 17, entonces el número es divisible por 17. En caso contario, no lo es.

Ejemplos:

• 357. Se hace la diferencia 35 – 5·7 = 35 – 35 = 0. Como se obtiene 0, el número 357 es divisible por 17.

• 561. Se hace la diferencia 56 – 5·1 = 56 – 5 = 51. Como se obtiene un múltiplo de 17, el número 561 es divisible por 17.

• 789. Se hace la diferencia 78 – 5·9 = 78 – 45 = 33. Como no se obtiene un múltiplo de 17, el número 789 no es divisible por 17.

Las identidades notables se pueden demostrar gráficamente.

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Si en la sucesión de Pell se divide cada uno de los términos por el anterior, se obtiene una nueva sucesión cuyo límite es el número de plata: δ_s=2’414213562.

Ya se observa una aproximación en los primeros cocientes:

Pero este resultado se puede demostrar de la siguiente forma:

La ecuación tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa. Como todos los cocientes de la sucesión son positivos, el valor del límite es la solución positiva.

Otro criterios de divisibilidad curioso es el del número 13.

Para ver si un número es divisible por 13 se le resta al número, sin la cifra de las unidades, la cifra de las unidades multiplicada por 9. Si el resultado de esta diferencia es 0 o múltiplo de 13, entonces el número es divisible por 13. En caso contario, no lo es.

Ejemplos:

• 182. Se hace la diferencia 18 – 9·2 = 18 – 18 = 0. Como se obtiene 0, el número 182 es divisible por 13.

• 624. Se hace la diferencia 62 – 9·4 = 62 – 36 = 26. Como se obtiene un múltiplo de 13, el número 624 es divisible por 13.

• 391. Se hace la diferencia 39 – 9·1 = 39 – 9 = 30. Como no se obtiene un múltiplo de 13, el número 391 no es divisible por 13.