Números

Se puede obtener la sucesión de Pell con una calculadora que disponga de las memorias «Ans» y «PreAns». La memoria «Ans» almacena la última respuesta y la memoria «PreAns» la penúltima.

Por ejemplo, utilizando el emulador de la calculadora Classwiz fx-570SP X Iberia, se introducen los dos primeros términos, escribiendo 1 y pulsando la tecla «=» y escribiendo 2 y pulsando nuevamente la tecla «=».

A continuación se introduce «PreAns+2×Ans» y pulsando repetidamente la tecla «=» se van obteniendo todos los términos de la sucesión.

En los libros de texto se indican los criterios de divisibilidad de los números 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 y 11. No suele aparecer el criterio de divisibilidad del número 7.

Para ver si un número es divisible por 7 se le resta al número, sin la cifra de las unidades, el doble de la cifra de las unidades. Si el resultado de esta diferencia es 0 o múltiplo de 7, entonces el número es divisible por 7. En caso contario, no lo es.

Ejemplos:

• 168. Se hace la diferencia 16 – 2·8 = 16 – 16 = 0. Como se obtiene 0, el número 168 es divisible por 7.

• 329. Se hace la diferencia 32 – 2·9 = 32 – 18 = 14. Como se obtiene un múltiplo de 7, el número 329 es divisible por 7.

• 541. Se hace la diferencia 54 – 2·1 = 54 – 2 = 52. Como no se obtiene un múltiplo de 7, el número 541 no es divisible por 7.

La sucesión de Pell es una sucesión recurrente de números naturales dada por:

a₁ = 1   ,  a₂ = 2   ,  a_n = a_n–2 + 2·a_n–1

El primer término es igual a 1, el segundo término es igual a 2 y, a partir del tercero, cada término se obtiene sumando al antepenúltimo el doble del último.

Los quince primeros términos de la sucesión son:

1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782, 195025,  …

Esta sucesión se debe al matemático británico John Pell (1611-1685).

Se puede obtener la sucesión de Pell de forma gráfica con las longitudes de los lados de la siguiente sucesión de cuadrados.

Un número práctico es un número natural que verifica que cualquier número menor que él se puede obtener como suma de parte de sus divisores.

Por ejemplo, el número 24. Divisores de 24: { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }

Todos los números del 1 al 23 se pueden obtener sumando divisores de 24.

Los veinticinco primeros números prácticos son: 

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, …

El número de plata es un número algebraico. Esto significa que:

• Se puede representar gráficamente con regla y compás. Para representar el número de plata con regla y compás se sigue una construcción similar a la realizada para construir el rectángulo de plata:

       Se traza un segmento de longitud 1, perpendicular a la recta real por el 2.

       Con centro en 1 se traza un arco de circunferencia que pasa por el extremo del segmento anterior.

       Este arco corta a la recta real en el número de plata.

• Se obtiene como solución de una ecuación polinómica con coeficientes racionales. El número de plata es la mayor de las soluciones de la ecuación:

Las reglas para la formación de los números romanos indican que no se pueden utilizar más de tres símbolos iguales consecutivos. Sin embargo, esto no se aplica para escribir el número 4 de bastantes relojes con numeración romana, aunque en estos mismos relojes sí se aplica para escribir el número 9.

Ejemplo de relojes con IIII.

Madrid	Roma	Munich

Ejemplos de relojes con IV.

Londres	Dresden	Moscú

¿Por qué se utiliza IIII en lugar de IV?

De forma similar a como se construye el rectángulo de oro, pero partiendo de un rectángulo cuya base es el doble de su altura en lugar de un cuadrado, se obtiene otro rectángulo que se conoce como rectángulo plateado o rectángulo de plata. La razón entre la base y la altura de este rectángulo se conoce como número de plata.  

Haz «click» sobre la imagen para abrir la construcción con GeoGebra y seguirla paso a paso.

Cálculo del número de plata.

Si se representa por x la altura del rectángulo, la longitud de la base será 2x. La longitud del segmento MB es x y la longitud del lado MC será, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo MBC:

Por el procedimiento de construcción utilizado, esta longitud coincide con la longitud del segmento ME.

El lado mayor del rectángulo mide:

La razón entre el lado mayor AE y el lado menor AD es el número de plata, δ_s:

Si «x» e «y» son dos números naturales distintos de 1, un número de Leyland es un número natural, N, que puede expresarse de la forma:

N = x^y + y^x

Los primeros números de Leyland son: