El matemático y físico inglés Roger Cotes (1682-1716) dio a conocer por primera vez, en el año 1714, la que se considera como la fórmula más elegante de las Matemáticas. Sin embargo, se conoce como «identidad de Euler«, porque fue el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), quién la popularizó en el año 1748.
La fórmula es:
en la que relaciona el número e, el número π, la unidad imaginaria i, el número 1 y el número 0.
Demostración:
Las raíces de índice par de números negativos no existen.
Se define la unidad imaginaria y se representa con la letra «i» a la raíz cuadrada de -1.
Se define el conjunto de los números complejos como el conjunto de números de la forma «a+bi«, siendo a y b números reales.
• Si b=0 se obtiene un número real. (El conjunto de los números reales está contenido en el conjunto de los números complejos)
• Si a=0 se obtiene un número de la forma «bi», que se llama imaginario puro.
Un número natural es refactorizable si es divisible por el número divisores que tiene. También se conoce como número tau.
Los siguientes números son refactorizables. Entre paréntesis figura el número de divisores:
1 (1), 2 (2), 8 (4), 9 (3), 12 (6), 18 (6), 24 (8), 36 (9), 40 (8), 56 (8), 60 (12), 72 (12), …
El número e fue descubierto por John Napier, (1550-1617), en el siglo XVI, es la base de los logaritmos neperianos (o logaritmos naturales). Sin embargo fue Leonhard Euler, (1707-1783), quién le puso su inicial como nombre en 1728.
Euler demostró que el número e es irracional. El francés Charles Hermite, (1822-1901), demostró en 1973 que es un número trascendente, es decir, que no se puede construir con regla y compás y que no se puede obtener como solución de ninguna ecuación con coeficientes racionales.
Se puede definir el número e como el límite cuando n tiende a infinito de la sucesión:
Si calculamos varios términos de la sucesión, obtenemos:
| n = 1 | 2 | n = 102 | 2.7048138294215 | |||
| n = 2 | 2.25 | n = 103 | 2.7169239322359 | |||
| n = 3 | 2.370370370370 | n = 104 | 2.7181459268252 | |||
| n = 4 | 2.4414062500 | n = 105 | 2.7182682371745 | |||
| n = 5 | 2.48832 | n = 106 | 2.7182804693194 | |||
| n = 6 | 2.5216263717421 | n = 107 | 2.718281692545 | |||
| n = 7 | 2.5464996970407 | n = 108 | 2.7182818148676 | |||
| n = 8 | 2.5657845139503 | n = 109 | 2.7182818270999 | |||
| n = 9 | 2.5811747917132 | n = 1010 | 2.7182818283231 | |||
| n = 10 | 2.5937424601 | . . . | . . . |
Hoy en día es fácil calcular el número e con una gran cantidad de cifras decimales utilizando un ordenador.
e=2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274…
Según el matemático indio Srinivasa Ramanujan, (1887-1920), un número natural es altamente compuesto si tiene un número de divisores mayor que cualquier número natural anterior.
Los siguientes números son altamente compuestos. Entre paréntesis figura el número de divisores:
1 (1), 2 (2), 4 (3), 6 (4), 12 (6), 24 (8), 36 (9), 48 (10), 60 (12), 120 (16), 180 (18), 240 (20), …
Un número es semiperfecto si es igual a la suma de algunos de sus divisores, sin contar dicho número.
Un número perfecto también es semiperfecto. Cualquier múltiplo de un número semiperfecto es también un número semiperfecto.
Son números semiperfectos: 6, 12, 18, 20 , 24, 28, 30, 36, 40, 42, 48, 56, 60, …
Div(12) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 } → 12 = 2 + 4 + 6
Div(18) = { 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 } → 18 = 3 + 6 + 9
Div(20) = { 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20 } → 20 = 1 + 4 + 5 + 10
En una entrada de este blog aparece un resultado y su demostración de que todos los números naturales son interesantes en Matemáticas. Uno de los números muy interesantes es el número 36, tanto aritmética como geométricamente. He aquí algunas de sus propiedades:
• Es un número triangular. Se obtiene sumando los ocho primeros números naturales. Es equivalente a que se puede construir un triángulo equilátero utilizando 36 circunferencias, por ejemplo.
• Es un número cuadrado perfecto. Es el cuadrado de 6. Junto con la propiedad anterior, 36 es el número más pequeño que es a la vez triangular y cuadrado.
Otra forma de representar gráficamente esta propiedad es utilizando triángulos equiláteros:
• El número 36 se obtiene como la suma de los cubos de los tres primeros números naturales:
• El número 36 es igual al número de combinaciones sin repetición de nueve elementos tomados de dos en dos. Una aplicación de esta coincidencia es que 36 es igual al número de segmentos que se pueden trazar con nueve puntos no alineados, por ejemplo, con los vértices de un eneágono regular, obteniendo los 9 lados y las 27 diagonales.
• El número 36 aparece como medida de ángulos en los triángulos isósceles con proporciones áureas.
En el primer triángulo los ángulos miden 36º, 2·36º y 2·36º.
En el segundo triángulo los ángulos miden 36º, 36º y 3·36º.
• Es la medida del ángulo interior de las puntas de la estrella pentagonal o estrella pitagórica.
• Es un número semiperfecto. Es igual a la suma de parte de sus divisores excepto él mismo. A continuación se indican los divisores y dos formas de obtener el número.
• Es un número de Harshad. Es un número divisible por la suma de sus cifras.
• Es un número refactorizable. Es un número divisible por el número de divisores que tiene.
• Es un número práctico. Todos los número menores que él se pueden obtener sumando divisores de 36.
• Es un número altamente compuesto. Es un número que tiene mayor número de divisores que todos los anteriores.
Se dice que un número natural es n-conductor si realizando con sus cifras operaciones de sumar, restar, multiplicar, dividir y potenciación, se puede obtener el número «n«. En estas operaciones hay que utilizar todas las cifras, no se pueden agrupar dos o más dígitos en otros números de varias cifras, cada cifra se puede utilizar una sola vez, se pueden utilizar paréntesis y como exponentes se pueden utilizar únicamente las cifras del número si no se han utilizado en las demás operaciones.
Se dice que un número natural es superconductor si realizando con sus cifras las operaciones indicadas anteriormente, se pueden obtener los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10.
Números 0-conductores.
• Un número de dos cifras es 0-conductor si es múltiplo de 10 o si tiene las dos cifras iguales.
Ejemplos. El número 10 es 0-conductor porque 0=1·0. El número 47 no es 0-conductor, no se puede obtener 0 realizando operaciones con todas sus cifras.
• Un número de tres cifras es 0-conductor si alguna de sus cifras es 0; si tiene al menos dos cifras iguales; o si una cualquiera de sus cifras es la suma, el producto o el resultado de una potencia de las otras dos.
Ejemplos. El número 248 es 0-conductor porque 0=2·4–8. El número 135 no es 0-conductor, no se puede obtener 0 realizando operaciones con todas sus cifras.
• Un número de cuatro cifras es 0-conductor si alguna de sus cifras es 0 o si tiene al menos dos cifras iguales. El resto de los números de cuatro cifras ofrece más posibilidades de operaciones con sus dígitos, habiendo más números 0-conductores que números que no lo son.
Ejemplos. El número 3576 es 0-conductor porque 0=3·(7–5)–6. El número 1468 no es 0-conductor, no se puede obtener 0 realizando operaciones con todas sus cifras, no está permitido hacer 0=14–6–8.
• Un número de cinco o más cifras tiene mayor número de posibilidades para realizar estas operaciones con sus dígitos. ¿Hay algún número con más de cuatro cifras que no sea 0-conductor?
Números superconductores.
• Un número de dos cifras no puede ser superconductor.
• Un número de tres cifras sí puede ser superconductor. Por ejemplo, el número 123, es superconductor porque:
| 0=1+2–3 | 1=3–2·1 | 2=3–2+1 | 3=3·(2–1) |
| 4=3+2–1 | 5=3·2–1 | 6=1+2+3 | 7=3·2+1 |
| 8=2·(3+1) | 9=3·(2+1) | 10=1+32 |
¿Hay algún número más de tres cifras que sea superconductor y que no se obtenga permutando las cifras del número 123?
• Encuentra números de cuatro cifras que sean superconductores.
En una entrada anterior aparece un resultado y su demostración de que todos los números naturales son interesantes en Matemáticas. Uno de los números con un interés especial es el número 55 porque aparece en estas tres sucesiones importantes:
| • Es el décimo número triangular: | • Es el quinto número piramidal cuadrangular: |
| 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21, 28 , 36 , 45 , 55 , … | 1 , 5 , 14 , 30 , 55 , 91, 140 , 204 , 285 , 385 , … |
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 =55 |
12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55 |
• Es es décimo número de la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .
1+1=2 , 1+2=3 , 2+3=5 , 3+5=8 , 5+8=13 , 8+13=21 , 13+21=34 , 21+34=55
Se puede obtener la sucesión de Fibonacci con una calculadora que disponga de las memorias «Ans» y «PreAns». La memoria «Ans» almacena la última respuesta y la memoria «PreAns» la penúltima.
Por ejemplo, utilizando el emulador de la calculadora Classwiz fx-570SP X Iberia, se introducen los dos primeros términos, escribiendo 1 y pulsando la tecla «=» dos veces.
A continuación se introduce «PreAns+Ans» y pulsando repetidamente la tecla «=» se van obteniendo todos los términos de la sucesión.
