Adicción Matemática

Números

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Sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es una sucesión recurrente de números naturales dada por:

a1 = 1   ,  a2 = 1   ,  an = an–2 + an–1

Los dos primeros términos son iguales a 1 y, a partir del tercero, cada término se obtiene sumando los dos anteriores.

a3=a1+a2=1+1=2 a4=a2+a3=1+2=3 a5=a3+a4=2+3=5 a6=a4+a5=3+5=8
a7=a5+a6=5+8=13 a8=a6+a7=8+13=21 a9=a7+a8=13+21=34 a10=a8+a9=21+34=55

Los veinte primeros términos de la sucesión son:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, …

Esta sucesión se debe al matemático italiano Leonardo de Pisa (1170-1240), también conocido como Fibonacci.

Se puede obtener la sucesión de Fibonacci de forma gráfica con las longitudes de los lados de la siguiente sucesión de cuadrados.

Números

Cuadrados y cubos perfectos

Un número cuadrado perfecto es un número que tiene raíz cuadrada exacta. Se obtiene al elevar al cuadrado un número natural. Los primeros cuadrados perfectos son:

12=1, 22=4, 32=9, 42=16, 52=25, 62=36, 72=49, 82=64, 92=81, 102=100, 112=121, 122=144, … 

Un número cubo perfecto es un número que tiene raíz cúbica exacta. Se obtiene al elevar al cubo un número natural. Los primeros cubos perfectos son:

13=1, 23=8, 33=27, 43=64, 53=125, 63=216, 73=343, 83=512, 93=729, 103=1000, 113=1331, 123=1728, … 

• Hay infinitos números que son a la vez cuadrados y cubos perfectos, todos los que se obtienen al elevar a seis o a un múltiplo de seis cualquier número natural, es decir, al elevar un cuadrado perfecto al cubo y un cubo perfecto al cuadrado.

1=16=12=13, 64=26=82=43, 729=36=272=93, 4096=212=46=642=163, 15625=56=1252=253, …

• Hay un cubo perfecto y un cuadrado perfecto que son números consecutivos:

8=23    y    9=32

• Hay un cuadrado perfecto y un cubo perfecto que dejan entre ellos un solo número natural:

25=52    y    27=33

El número que queda en medio, 26, tiene el privilegio de ser el único número natural con esta propiedad.

• Hay un cuadrado perfecto y un cubo perfecto que dejan entre ellos dos números naturales:

1=13    y    4=22. 

• Otras parejas dejan entre ellos tres números naturales:

4=22    y    8=23        ,       121=112    y    125=53

Número de oro / Números

El número de oro

Su descubrimiento se remonta al siglo V a. C., en la época de la Grecia Clásica, en la que era muy utilizado en arquitectura y escultura. Sin embargo hubo que esperar hasta el siglo XIX  para conocerlo por la sexta letra del abecedario griego “Φ”, inicial del nombre del escultor griego Fidias (490-431 a.C.) que lo utilizó en sus obras.

Euclides (325-265 a.C.), en el siglo III a.C. lo utiliza en sus Elementos. En el año 1500 Luca Pacioli (1447-1517) lo reconocía como La divina Proporción. El nombre de Número de Oro o Proporción Áurea se le da en es siglo XIX en Alemania.

Posiblemente su descubrimiento se debe al estudio de las proporciones y de la medida de un segmento. Vamos a dividir un segmento de longitud una unidad en dos partes, de forma que la razón entre la parte mayor y la parte menor sea igual a la razón entre el total y la parte mayor. A esta forma de dividir un segmento se le conoce como proporción o sección áurea.

De la proporción deseada resulta la ecuación de segundo grado:

De las dos soluciones de la ecuación, solo será válida la solución positiva. Las medidas de las dos partes en que queda dividido el segmento, «x» y «1-x», son:

El número de oro, Φ, es la razón entre la parte mayor y la menor:

El número de oro es un número irracional, es decir, está formado por infinitas cifras decimales no periódicas. Hoy en día, es fácil calcular el número de oro con una gran cantidad de cifras decimales utilizando un ordenador.

Φ=1.61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862270526046281890244970720720418939113748 …

Números / Teorema de Pitágoras

Ternas pitagóricas

Una terna pitagórica es un grupo de tres números naturales a, b y c que verifican: a2=b2+c2. Es decir, tres números naturales que pueden ser las medidas de los lados de un triángulo rectángulo y que, por tanto, verifican el Teorema de Pitágoras.

Es muy conocida la terna pitagórica formada por los números 5, 4 y 3, e incluso la formada por 13, 12 y 5. También que los múltiplos de una terna pitagórica también forman una terna pitagórica. Pero, ¿cuántas ternas pitagóricas existen? La siguiente aplicación muestra el procedimiento para construirlas.

Haz «click» sobre la imagen para abrir la construcción con GeoGebra y construir ternas pitagóricas.

Números

Cuadrados perfectos invertibles

Un número cuadrado perfecto es un número que tiene raíz cuadrada exacta.

Hay cuadrados perfectos que al invertir sus cifras también dan lugar a otro cuadrado perfecto. Por ejemplo, los cuadrados perfectos capicúas, que ya se han tratado en una entrada anterior.

• En la mayoría de los casos, las raíces de los dos cuadrados perfectos invertidos son también números con sus cifras invertidas. En la tabla se muestran los números menor (no capicúa) y mayor con 2, 3, 4, 5, 6 y 7 cifras que verifican esta propiedad:

Número Cuadrado Invertido Raíz cuadrada
12 144 441 21
31 961 169 13
102 10404 40401 201
311 96721 12769 113
1002 1001004 4001001 2001
3111 9678321 1238769 1113
10002 100040004 400040001 20001
31111 967894321 123498769 11113
100002 10000400004 40000100001 200001
211111 44567854321 12345876544 111112
1000002 1000004000002 4000004000001 2000001
2111111  4456789654321 1234569876544 1111112

 

• Pero en otros casos, los dos cuadrados perfectos invertidos se obtienen de números con las cifras distintas. Por ejemplo:

Número Cuadrado Invertido Raíz cuadrada
33 1089 9801 99
3168 10036224 42263001 6501

 

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Cuadrados perfectos capicúas

Un número cuadrado perfecto es un número que tiene raíz cuadrada exacta.

Un número capicúa es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

• Hay algunos números capicúas que al elevarlos al cuadrado dan lugar a un cuadrado perfecto que también es capicúa. Por ejemplo:

112 = 121 2022 = 40804
222 = 484 2122 = 44944
1012 = 10201 10012 = 1002001
1112 = 12321 11112 = 1234321
1212 = 14641 20022 = 4008004

· · ·

• Pero también se pueden obtener cuadrados perfectos capicúas al elevar al cuadrado números no capicúas. Por ejemplo:

262 = 676 8362 = 698896
2642 = 69696 22852 = 5221225
3072 = 94249 26362 = 6948496

 

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Número «omirp»

Un número omirp es un número primo no capicúa, de forma que el número que resulta al invertir sus cifras también es primo:

Ejemplo números omirp de dos cifras: 13 y 31.

Ejemplo de números omirp de tres cifras: 107 y 701.

Ejemplo de números omirp de cuatro cifras: 1723 y 3271.

Ejemplo de números omirp de cinco cifras: 13751 y 15731.

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Números cómplices

Dos números son cómplices si verifican:

• Tienen el mismo número de cifras.

• El número obtenido al invertir las cifras de cualquiera de ellos no coincide ni con él mismo ni con el otro número.

• El producto de los números coincide con el producto de los números obtenidos al invertir sus cifras.

 

Ejemplo de números cómplices de dos cifras: 12 y 42: 12×42=21×24.

Ejemplo de números cómplices de tres cifras: 426 y 936: 426×936=624×639.

Ejemplo de números cómplices de cuatro cifras: 2464 y 6963: 2464×6963=4642×3696.

Ejemplo de números cómplices de cinco cifras: 41233 y 66428: 41233×66428=33214×82466.

Números / Operaciones curiosas

El número 6174. Constante de Kaprekar.

El número 6174 se conoce como constante de Kaprekar debido al matemático indio que lo descubrió, Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986). Se obtiene a partir de la siguiente secuencia de operaciones:

• Escoge un número de cuatro cifras que no tenga tres ni cuatro cifras iguales. Por ejemplo: 4815.

• Coloca las cuatro cifras en orden descendente. En este caso: 8541.

• Coloca las cuatro cifras en orden ascendente. En este caso: 1458.

• Resta los dos números anteriores. En este caso: 8541–1458=7083.

• Si no sale 6174, repite el procedimiento anterior las veces necesarias con los resultados de las diferencias y, como mucho en siete pasos, obtienes la constante de Kaprekar.

8730–0378=8352.

8532–2358=6174.

Números

12022021

Hoy 12 de febrero de 2021 tenemos una fecha capicúa, 12/02/2021, se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. ¿Cuál fue la anterior fecha capicúa? ¿Cuál será la siguiente fecha capicúa?

Además, si se gira el número 180º se obtiene el mismo número.

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