Sistemas formales y propiedades

Ignacio Escañuela Romana.

Un sistema formal es algo compuesto de:
– Símbolos utilizables. Es un alfabeto.
– Reglas de uso de estos símbolos. Es decir, conjunto de fórmulas bien expresadas.
Reglas de inferencia a partir de expresiones correctas de símbolos. Axiomas serían unaas primeras fórmulas de las que partimos para demotrar mediante las reglas toda fórmula posible que sea verdadera (teorema).

Existe un debate acerca de si todo sistema formal debe necesariamente implicar, o no, reglas de significación.

La inferencia desde premisas, nos permite llegar a conclusiones. La conclusión es, entonces, demostrada. Esto es una prueba. Deseamos que el sistema formal sea capaz de probar absolutamente todo lo que ea verdadero.

Luego todo sistema formal implica esencialmente una teoría de la demostración.

Por ejemplo, estamos viendo un sistema formal muy simplificado, que hemos llamado lógica proposicional o de enunciados. Hemos añadido reglas de inferencia en la clase. Por ejemlo, la eliminación del conjunto es pasar de a y b a concluir a. O a concluir b.

Por ejemplo, números naurales más las operacioens de suma, resta, multiplicación y división.

Propiedades de los sistemas formales:

1. Consistencia (No contrariedad).

Un sistema formal X es coherente cuando no podemos demostrar ningún enunciado p y su negación -p. Es decir, cuando p y no p no puede ser un teorema del sistema.

2. Decidibilidad.

Para toda fórmula dada en el lenguaje del sistema, existe un método finito para determinar si esa fórmula es verdadera o falsa. Es posible encontrar una solución.

Fórmula independiente = para la que no pueda ser probada su verdad o falsedad. Es decir, no deducible.

3. Completitud.

Para toda fórmula p; o bien p, o bien no p, es un teorema del sistema. Es decir, exite una prueba pra toda fórmula o su negación..

4. Riqueza.

Cuando el sistema contiene todos los nombres individuales necesarios para ejemplificar una afirmación. Poniendo un ejemplo un poco alejado, pero que puede hacer comprender. Si puedo traducir el enunciado «existe un x, tal que ese x es hombre» a «Pepe». Esto es, introduzco un nombre individual para una caso específico de predicado.

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